Consideremos un rectángulo cualquiera inscrito en el triángulo \(\triangle ABC\). Llamemos \(E,D,D^{\prime }\) y \(E^{\prime }\) a sus vértices, de tal manera que \(D^{\prime }\) y \(E^{\prime }\) están sobre el eje \(X\), \(D\) sobre el lado \(AC\) y \(E\) en el lado \(BC\). Para encontrar la ecuación del lugar geométrico que describe \(M\), debemos encontrar las coordenadas del punto de intersección de las diagonales \(ED^{\prime }\) y \(DE^{\prime }\) del rectángulo. Llamemos \(OA=a\), \(OB=b\) y \(OC=c\). La ecuación de la recta \(DE\) es \[ y=\lambda , \] para algún \(\lambda \in \left( o,c\right) \). Observamos que \[ DD^{\prime }=EE^{\prime }=\lambda . \] Como los triángulos \(\triangle AOC\) y \(\triangle AD^{\prime }D\) tienen ángulos correspondientes iguales, entonces son semejantes, de donde: \[ \frac{D^{\prime }A}{D^{\prime }D}=\frac{OA}{OC}, \] sustituyendo lo anterior tenemos: \[ \frac{D^{\prime }A}{\lambda }=\frac{a}{c}, \] despejando \(D^{\prime }A\): \[ D^{\prime }A=\frac{a}{c}\lambda . \] sigue Este es un párrafo |