Usaremos el teorema de Ceva, que vimos en otro interactivo, que afirma que si \(F\), \(D\) y \(E\) son puntos en los lados \(AB\), \(BC\) y \(CA\) de un triángulo \(ABC\) y se satisface \[ \frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 \] entonces las rectas \(AD\) \(BE\) y \(CF\) son concurrentes. Como el triángulo \(AFC\) es un triángulo rectángulo, entonces \(AF=AC\cos A\), y como el triángulo \(CFB\) es un triángulo rectángulo, entonces \(FB=BC\cos B\).
Similarmente
\begin{eqnarray*}
BD &=&AB\cos B \\
DC &=&AC\cos C \\
CE &=&BC\cos C \\
EA &=&AB\cos A
\end{eqnarray*}
Así que
\[
\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=\frac{AC\cos A}{BC\cos B}\frac{%
AB\cos B}{AC\cos C}\frac{BC\cos C}{AB\cos A}=1
\]
Por lo tanto, las alturas son concurrentes. El punto donde se cortan es el Este es un párrafo |