Por otro lado, si el punto \(M = (x,y) \) satisface de las ecuaciones de las rectas
\(QM\) y \(PM\), multiplicamos sus ecuaciones y obtenemos \(p\) y \(q\) tenemos:
\begin{eqnarray}
pq &=&\left( x\cos \alpha +y\text{ sen}\alpha \right) \left( x\cos \alpha -y
\text{ sen}\alpha \right) \nonumber \\
&=&x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha , \label{vbn35}
\end{eqnarray}
sustituyendo esta expresión en la última fórmula de la página anterior, tenemos:
\begin{eqnarray*}
x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha &=&\frac{2k}{\text{ sen}
2\alpha } \\
x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha &=&\frac{k}{\text{ sen}
\alpha \cos \alpha } \\
\frac{x^{2}}{\left( \frac{k}{\text{ sen}\alpha \cos ^{3}\alpha }\right) }-
\frac{y^{2}}{\left( \frac{k}{\text{ sen}^{3}\alpha \cos \alpha }\right) }
&=&1.
\end{eqnarray*}
Que es la ecuación de una hipérbola horizontal con centro en el orígen.
Así, el lugar geométrico descrito por \(M\), a medida que los puntos \(
P\) y \(Q\) se desplazan sobre las rectas \(\ell _{1}\) y \(\ell _{2}\)
respectivamente, de tal manera que el área del triángulo \(\triangle
POQ\ \) es fija, está contenido en la hipérbola horizontal
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