Por otro lado, si el punto \(M = (x,y) \) satisface de las ecuaciones de las rectas \(QM\) y \(PM\), multiplicamos sus ecuaciones y obtenemos \(p\) y \(q\) tenemos: \begin{eqnarray} pq &=&\left( x\cos \alpha +y\text{ sen}\alpha \right) \left( x\cos \alpha -y \text{ sen}\alpha \right) \nonumber \\ &=&x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha , \label{vbn35} \end{eqnarray} sustituyendo esta expresión en la última fórmula de la página anterior, tenemos: \begin{eqnarray*} x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha &=&\frac{2k}{\text{ sen} 2\alpha } \\ x^{2}\cos ^{2}\alpha -y^{2}\text{ sen}^{2}\alpha &=&\frac{k}{\text{ sen} \alpha \cos \alpha } \\ \frac{x^{2}}{\left( \frac{k}{\text{ sen}\alpha \cos ^{3}\alpha }\right) }- \frac{y^{2}}{\left( \frac{k}{\text{ sen}^{3}\alpha \cos \alpha }\right) } &=&1. \end{eqnarray*} Que es la ecuación de una hipérbola horizontal con centro en el orígen. Así, el lugar geométrico descrito por \(M\), a medida que los puntos \( P\) y \(Q\) se desplazan sobre las rectas \(\ell _{1}\) y \(\ell _{2}\) respectivamente, de tal manera que el área del triángulo \(\triangle POQ\ \) es fija, está contenido en la hipérbola horizontal

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