Para obtener la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto \(M\), debemos encontrar la intersección de las rectas \(AE\) y \(BF\), es decir, debemos eliminar \(m\) de las ecuaciones \[ (bx-ay+ab)(b-ma)-2ab(-mx+y+b)=0 \] y \[ (bx+ay-ab)(b+ma)+2ab(-mx+y+b)=0, \] Igualando las ecuaciones anteriores y despejando \(m\) obtenemos \begin{equation} m=\frac{3y+b}{x}. \label{17'} \end{equation} Así, sustituyendo \(m\) en cualquiera de las rectas y simplificando, tenemos: \[ x^{2}+ \left( y-\frac{b}{3}\right) ^{2} =\left( \frac{2}{3}b\right) ^{2}. \] Que es la ecuación del circuncírculo del triángulo \(\triangle ABC \).

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